집합 판별 함수

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분류

목차
1. 설명
1.1. 중등교육 수준의 설명
2. 유리수 판별 함수(디리클레 함수)

1. 설명 [편집]

특수함수의 하나로, 지시 함수(Indicator function)라고도 한다. 1A(x)\bold{1}_{\boldsymbol{\mathsf{A}}}(x)[1]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.

1A(x)≡{1(x∈A)0(x∉A) \bold{1}_{\boldsymbol{\mathsf{A} }}(x) \equiv \begin{cases} 1 & (x \in \boldsymbol{\mathsf{A}}) \\ 0 & (x \notin \boldsymbol{\mathsf{A}}) \end{cases} \qquad (단, A\boldsymbol{\mathsf{A}}는 집합)


또한 집합판별함수는 특히 측도와 적분을 이어주는 데 자주 사용된다.
  • 측도 μ\mu와 집합 A\boldsymbol{\mathsf{A}}에 대해 다음이 성립한다.

    ∫1A dμ=∫A1 dμ=μ(A)\displaystyle \int\bold{1}_{\boldsymbol{\mathsf{A} }}\,\mathrm{d}\mu= \int_{ \boldsymbol{\mathsf{A}} } 1\,\mathrm{d}\mu= \mu(\boldsymbol{\mathsf{A}})
  • 고등학교 수학에서는, 구간 A=[a, b]A= [a,\, b]에 대해 다음이 성립한다.

    ∫−∞∞1A(x) dx=∫ab1 dx=b−a\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\bold{1}_{A}(x) \, \mathrm{d}x= \int_a^b1\,\mathrm{d}x= b- a

또한 기댓값이 본질적으로 적분이고 확률이 측도임을 생각하면, 다음처럼 확률과 기댓값을 이어주는 데 사용된다는 것도 바로 알 수 있다.
  • 확률변수 XX가 확률분포(Probability measure) PP를 따른다면, 사건 AA에 대해 다음이 성립한다.

    E[1A(X)]=∫A1 dP=P(A)\displaystyle \mathbb{E}\left[\bold{1}_A(X)\right] = \int_A1\,\mathrm{d}P = P(A)

1.1. 중등교육 수준의 설명 [편집]

의외로 간단한 함수이다. 이 함수는 1A(x)\bold{1}_{\boldsymbol{\mathsf{A}}}(x)로 표기되는데, xx가 집합 A\mathsf{A} 안에 포함되는 원소이면 함숫값이 11이 되고 아니면 00이 된다. 예를 들어서, 자연수 전체의 집합을 N\mathbb{N}이라고 하면, 55는 자연수이므로 1N(5)=1\bold{1}_{\mathbb{N}}(5)=1이고, 2\sqrt2는 자연수가 아니므로 1N(2)=0\bold{1}_{\mathbb{N}}(\sqrt2)=0이다.

아래는 몇몇 예시를 나타낸 표이다.
함수
함숫값
1N(7)\bold{1}_{\mathbb{N}}(7)
11
1N(−3)\bold{1}_{\mathbb{N}}(-3)
00
1Z(−3)\bold{1}_{\mathbb{Z}}(-3)
11
1Q(7)\bold{1}_{\mathbb{Q}}(7)
11
1Q(2)\bold{1}_{\mathbb{Q}}(\sqrt2)
00
1A(4)\bold{1}_{\boldsymbol{\mathsf{A} }}(4)
(A={3, 4, 5}\boldsymbol{\mathsf{A}} = \{3,\,4,\,5\})
11
1A(6)\bold{1}_{\boldsymbol{\mathsf{A} }}(6)
(A={3, 4, 5}\boldsymbol{\mathsf{A}} = \{3,\,4,\,5\})
00

여기서 N\mathbb{N}은 자연수 집합, Z\mathbb{Z}는 정수 집합, Q\mathbb{Q}는 유리수 집합이다.

한편 소수 P\mathbb{P}를 판별하는 소수 판별 함수 1P\bold{1}_{\mathbb{P}}도 생각해볼 수 있는데, 1P(x)=1\bold{1}_{\mathbb{P}}(x) = 1을 만족하는 수를 찾는 과정이 다름아닌 에라토스테네스의 체이다.

2. 유리수 판별 함수(디리클레 함수) [편집]

개중에 유리수 집합 Q\mathbb Q을 판별하는 디리클레 함수(Dirichlet function)[2] 1Q(x)\bold{1}_{\mathbb Q}(x) 라는 것이 있는데, 집합 판별 함수 중 아래의 특이한 성질을 보이기 때문에 실해석학에서 주로 다뤄진다.
  • 모든 실수에서 불연속인 완전 불연속 함수이다. 그래서 해석기하학적 그래프를 그릴 수 없다.
  • 짝함수이다: 1Q(x)=1Q(−x)\bold{1}_{\mathbb Q}(x) = \bold{1}_{\mathbb Q}(-x)
  • 리만 적분[3]으로는 적분이 불가능하고, 르베그 적분으로 적분할 수 있으며 그 값은 0이다.
  • 오일러-마스케로니 상수, 브룬 상수, 카탈랑 상수 등 특이점이 무수히 많이 존재한다.[4]
  • 삼각함수로 정의가 가능하다: 1Q(x)=lim⁡m→∞[lim⁡n→∞cos⁡2n(m!⋅πx)]\displaystyle \bold{1}_{\mathbb{Q}}( x ) = \lim_{m \to \infty} \left[ \lim_{n \to \infty} \cos^{2n}( m! \cdot \pi x ) \right] .
    • 이 항등식은 현실적으로는 거의 쓸모 없는, 학문적 유희를 위한 식이다. 그러나 유리수, 팩토리얼, 삼각함수, 지수, 그리고 극한 등 중요 개념들을 제대로 이해하고 있는지를 테스트할 수 있는 매우 좋은 식이므로, 수학에 관심 있는 위키러는 이 항등식 증명에 도전해보자.
      [증명의 스케치 보기]

      주어진 식의 우변이 xx가 유리수일 때는 11, 무리수일 때는 00의 값을 가짐을 증명하면 된다.

      우선 xx가 유리수인 경우를 생각하자. 그러면 x=p/qx=p/q 로 나타낼 수 있다. (단, pp, qq는 정수, q>0q>0이며, 증명을 위해선 서로소일 필요는 없다.)

      극한이 중첩되어 있어 혼란스러울 수 있으나, f(m):=lim⁡n→∞cos⁡2n(m!⋅πx)\displaystyle f(m):= \lim_{n \to \infty} \cos^{2n}( m! \cdot \pi x ) 와 같이 안쪽 극한의 값을 mm의 함수로 생각하면 편하다. 즉, 우리의 목적은 수열 {f(m)}m=1∞\lbrace f(m) \rbrace_{m= 1}^\infty의 극한을 구하는 것.

      mm이 충분히 큰 경우, 특히 m≥qm\geq q인 경우 mm을 고정하고 f(m)f(m)의 값을 살펴보자. 이 경우 제일 안쪽의 식에서 π\pi를 제외한 부분은

      m!⋅x=m!×pq=p×m!q\displaystyle m!\cdot x = m!\times\frac{p}{q} = p\times \frac{m!}{q}

      이 된다. 이 때 m≥qm\geq q이므로 팩토리얼의 정의에 의해 분자가 분모에 의해 나누어떨어지게 되어 m!/qm!/q는 정수가 된다. 따라서 제일 안쪽 m!⋅πxm!\cdot\pi x는 '정수×π\times \pi'의 꼴이 된다. 다음으로 이를 이용하면 코사인의 성질에 의해 cos⁡(m!⋅πx)\cos(m! \cdot \pi x)는 −1-1 또는 11일 수밖에 없다. 둘 중 어느 경우든지간에, 2n2n승 취하면 (nn이 무슨 값이든지) 11이 된다.[5] 따라서 결국 우리가 택한 m≥qm\geq q에 대해서는, 다음이 성립한다.

      f(m)=lim⁡n→∞cos⁡2n(m!⋅πx)=lim⁡n→∞1=1\displaystyle f(m) = \lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\cdot\pi x) = \lim_{n\to\infty}1 = 1


      즉, 우리가 처음에 고정한 유리수 xx에 대해, 수열 {f(m)}m=1∞\lbrace f(m) \rbrace_{m= 1}^\infty은 유한한 갯수의 항을 제외하고는 11의 값을 갖는 수열이다. 따라서 극한의 정의에 의해

      lim⁡m→∞lim⁡n→∞cos⁡2n(m!⋅πx)=lim⁡m→∞f(m)=1\displaystyle \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \cos^{2n}( m! \cdot \pi x ) = \lim_{m\to\infty}f(m) = 1

      이 성립한다. 이 등식이 임의의 유리수 xx에 대해 성립함을 주목하자.

      무리수의 경우도 유사하게 증명하면 된다. 이 경우 무리수의 성질에 의해 mm이 어떤 값이든지 m!⋅xm!\cdot x는 정수가 될 수 없다. 코사인의 성질에 의해 cos⁡(m!⋅πx)∈(−1,1)\cos(m!\cdot\pi x)\in(-1, 1)이고, 이를 2n2n제곱을 해나가면 nn이 커짐에 따라 00으로 수렴한다. 즉, lim⁡n→∞cos⁡(m!⋅πx)=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos(m!\cdot\pi x) = 0이다. 따라서 xx가 무리수인 경우, 수열 {f(m)}m∞\lbrace f(m) \rbrace_m^\infty는 0으로만 이루어진 수열이고, 이 수열이 00으로 수렴함은 자명하다.
[1] 숫자 11과 구별하기 위해 볼드체로 표기한다. 사람에 따라서는 I를 겹친 IA\mathbb{I}_\mathsf{A} 혹은 1을 겹친 𝟙A{}_{\mathsf{A}}를 쓰기도 한다.[2] 고안자인 페터 디리클레(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)의 이름을 따왔다.[3] 고등학교 때 배우는 적분법을 대학교 2학년 수준에서 확장한 것. 주어진 구간을 n등분하는 대신 아무렇게나 쪼개고, 오른쪽 값이나 왼쪽 값 등을 고르는 것이 아니라 각 구간에서의 최댓값과 최솟값을 고르는 정도의 차이가 존재한다. 고등학교식 적분이 리만 적분이 아니라는 증거이기도 하다. 고등학교식으로 0부터 1까지 적분하면 1이다.[4] 사실 당연한 것이 이들은 유리수인지 무리수인지가 아직 밝혀지지 않았기 때문이다. 언젠가는 저 점들도 특이점이 아닐 날이 올 것이다.[5] 왜 쓸모없는 nn이 들어있는지 궁금하다면, 추후에 무리수인 경우를 마저 따져보자.

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